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-Test, Chi²-Test, Chiquadrat-Test

Der -Test ist ein Anpassungstest. Mit ihm lässt sich prüfen, ob die beobachtete Verteilung einer vorgegebenen Verteilung entspricht.
Dieser Test ist anwendbar für kategoriale oder auch für kontinuierliche Merkmale die klassifiziert wurden.

Kategoriale Merkmale

Zur Darlegung des -Tests für kategoriale Merkmale gehen wir von diesem kleinen Würfelexperiment aus (Bild 1):

Bild 1

Erwartet wird die Gleichverteilung der gewürfelten Zahlen für die 290 Würfe und dieser Erwartungswert h_E über die 6 Kategorien beträgt für dieses Beispiel

h_E = 290 / 6 = 48,33.

Mit dem -Test kann nun geprüft werden, ob die im Bild 1 dargestellte reale Verteilung über die Kategorien h_K dem Erwartungswert h_E, also der Gleichverteilung, entspricht.
Wir bezeichnen

h_K = h_E als Nullhypothese H₀ und

h_K # h_E als Alternativhypothese H_1.

Wird jedes Auftreten der Ausprägung von X auf Annahme oder Ablehnung (1 oder nicht 1 gewürfelt) hin betrachtet, kann von einer Binomialverteilung ausgegangen werden:

h_i ~ B(n, h_E)

D. h., dass für jede Kategorie (i = 1...6) so die Nullhypothese H₀ geprüft werden kann. Wie oben erwähnt, kann der Anpassungstest mit dem -Test direkt für alle Kategorien X_n durchgeführt werden. Dazu wird die quadrierte Differenz von h_i und h_E gebildet und normiert:

Die Summe dieser normierten Abweichung stellt dann die -Prüfgröße dar:

Für kategoriale Merkmale gilt die Ablehnung der Nullhypothese H₀ (keine Gleichverteilung), wenn

ist.
Die Berechung des -Wertes für obiges Beispiel (Bild 1) zeigt Bild 2 (OpenOffice-Tabelle):

Bild 2, OpenOffice-Tabellenblatt

Das 0,95-Quantil der -Verteilung mit 5 Freiheitsgeraden (k = 6-1) ist

 _{0,95 (5)} = 11,07   (siehe Tabelle).

Da

1,559 < 11,07

trifft die Nullhypothese zu, d. h., die Verteilung der “Augenzahl” des Würfels entspricht der Erwartung. Der Würfel “taugt” zum Spielen!

Kontinuierliche Merkmale

Der -Test kann auch zur Anpassungsprüfung für kontinuierliche (normalverteilte) Merkmale eingesetzt werden (siehe auch Schiefe und Wölbung).
Dazu ist es notwendig, die Merkmalsausprägung in Klassen zu gruppieren. D. h., es werden eine bestimmte Anzahl Intervalle (Klassen) in dem Spannweitenbereich der Merkmalsausprägung gebildet und die einzelnen Ausprägungen dann dem jeweiligen Intervall zugeordnet. Nach der Zuordnung wird dann, wie im Bild 2 und 3 dargestellt, die Häufigkeit der Zuordnung pro Klasse gezählt. (Hinweis: Zum Test einer geringen Anzal Merkmale siehe Kolmogorov-Smirnov-Test.)

Bild 3

In diesem Beispiel soll der Anpassungstest, wie schon erwähnt, bezüglich obiger Daten auf die Standardnormalverteilung geprüft werden.
Dazu werden die jeweiligen Klassenobergrenzen, oder als bessere Näherung die Klassenmitte (Spalte A), um den Flächenanteil der Standardnormalverteilung berechnen zu können, in z-Werte transformiert (Bild 4, Spalte C):

Als nächster Schritt wird der Flächenanteil der Standardnormalverteilung, entweder aus Tabellen oder - wie in diesem Beispiel - über die dementsprechende (OpenOffice-)Funktion, ermittelt (Bild 4, Spalte D). Über die Flächendifferenz (Bild 4, Spalte E) wird nach h_E = Flächendifferenz * Anzahl Beobachtungen die erwartete Häufigkeit h_E ermittelt (Bild 4, Spalte F). Die normierte Differenz nach F1 wird in Spalte G, Bild 4, berechnet: