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Kolmogorov-Smirnov-Test (Kolgoroff-Smirnoff-Test)

Zur Durchführung des Chiquadrat-Tests zur Prüfung auf Normalverteilung müssen die Merkmalsausprägungen in Klassen eingeteilt werden.
Die Voraussetzung dazu ist, dass genügend Merkmalsausprägungen (Daten, Fallzahlen) vorliegen. Ist diese Voraussetzung nicht gegeben, also die Anzahl der Werte klein, wird als Anpassungstest auf Normalverteilung der Kolmogorov-Smirnov-Test herangezogen.
Bei einer kleinen Fallzahl ist eine signifikante Abweichung von der Normalverteilung (siehe auch Potenzmomente) selten zu beobachten, d. h., die Werte müssen ziemlich “auffällig” sein.

An folgendem Beispiel wird der Test dargelegt.

Der Gehalt einer Komponente A wird mit folgenden %-Werten (Merkmalsausprägungen) bestimmt (Komp. A(x)%) und im 1. Schritt in aufsteigender Reihenfolge geordnet (A(x) sortiert).

Im 2. Schritt werden die Merkmalsausprägungen z-Transformiert um die Fläche unter der Standardnormalverteilung zu ermitteln:

z-Transformation über die nebenstehnde Formel berechnen,...

... Darstellung in der Spalte z-Transformiert...

... und z. B. über die Tabellenblatt-Standardfunktion den Flächenanteil berechnen: 

Im 3. Schritt werden die Flächenabstände betrachtet. Diese sollten bei Normalverteilung gleich sein und hier 1/n, also 1/8, entsprechen. Diese “idealen” Abstände werden summiert in einer weiteren Spalte (i/n) dargestellt:

Im 4. Schritt wird die Differenz zwischen der berechneten Fläche unter der Standardnormalverteilung und dem idealen Abständen berechnet:

Die größte Abweichung ist die Prüfgröße PG = 0,35 und diese muss bei der betreffenden Fallzahl n = 8 den tabellierten Wert überschreiten, damit eine signifikant Abweichung von der Normalverteilung vorliegt.

PGn8 = 0,35

Tabellenwertn8 = 0,454

PG 0,35 < Tabellenwert 0,454

Somit kann eine Abweichung von der Normalverteilung nicht angenommen werden!

Das freie Statistikprogramm R kann Ihnen bei der Schätzung behilflich sein. Auf der Seite Abweichung von der Normalverteilung: Schiefe und Wölbung finden Sie dazu ein Beispiel!

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Tabelle für den Kolmogorov-Smirnov-Test:

n

Wert

n

Wert

3

0,708

20

0294

4

0,624

21

0,287

5

0,563

22

0,281

6

0,519

23

0,275

7

0,483

24

0,269

8

0,454

25

0,264

9

0,43

26

0,259

10

0,409

27

0,254

11

0,391

28

0,25

12

0,375

29

0,246

13

0,361

30

0,242

14

0,349

31

0,238

15

0,338

32

0,234

16

0,327

33

0,231

17

0,318

34

0,227

18

0,309

35

0,224

19

0,301

 

 

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