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Korrelations- und Regressionsanalyse

Einleitung

Die Abhängigkeit zwischen zwei Merkmalen eines Objektes (Material, Prozess, ...) werden mit der Korrelations- und Regressionsanalyse untersucht (multivariate Analysenmethode).
Auch wenn aufgrund theoretischer Überlegungen sicher ist, dass zwei Merkmale eines Objektes miteinander zusammenhängen, gibt die Korrelations- und Regressionsanalyse Auskunft über Art und Grad des Zusammenhanges.
Liegt ein funktionaler Zusammenhang zwischen x und y vor, so lässt sich ein Stichproben- korrelationskoeffizient r angeben, der eine Schätzung des “wahren” Parameters ρ (Rho) ist.

Korrelationsanalyse

Die Korrelationsanalyse untersucht Zusammenhänge zwischen Zufallsvariablen anhand einer Stichprobe. Eine Maßzahl für die Stärke und Richtung eines linearen Zusammenhanges ist der Korrelationskoeffizient r.
Für den Korrelationskoeffizient r der Merkmale (Zufallsvariablen) x und y gilt:

r = 0 bedeutet, dass kein Zusammenhang besteht. x und y sind voneinander unabhängig. Nähert sich r -1 oder 1 an, wird die lineare Abhängigkeit immer wahrscheinlicher. Ist r = -1 oder 1 liegt ein funktionaler linearer Zusammenhang vor.

Oft wird anstelle des Korrelationskoeffizienten r das Bestimmtheitsmaß r² angegeben. Hier gilt, je näher das Bestimmtheitsmaß r² an 1 liegt, desto höher ist die Wahrscheinlichkeit des linearen Zusammenhangs. Ist r² = 0 liegt kein Zusammenhang vor. Das Bestimmtheitsmaß stellt also eine Maßzahl für die Güte der Anpassung dar.

Neben der Beurteilung des Bestimmtheitsmaßes über die Annäherung an 1, bietet sich der t-Test zur Prüfung der statistischen Signifikants des vermuteten Zusammenhanges zwischen den Merkmalen x und y an. Nähres dazu finden Sie unter Test des Korrelationskoeffizienten.

Regressionsanalyse

Durch die Regressionsanalyse wird die Abhängigkeit zwischen zwei Merkmalen (siehe auch multiple lienare Regression) eines Objektes einer Regressionsgleichung angepaßt:

Besteht ein linearer Zusammenhang zwischen y und x - y ist das abhängige (Zufalls-) Merkmal und wird als Zielgröße bezeichnet, das Merkmal x ist die unabhängige Variable (Einflussgröße) -  wird von linearer Regression gesprochen:

y = a + bx

Die Parameter a und b werden aus den Merkmalsdaten x und y nach der Methode der kleinsten Quadrate (auch Kleinst-Quadrate-Schätzung oder kurz KQ-Schätzung genannt) berechnet (geschätzt).

Hinweis:

Die Merkmalsausprägungen (die Daten) zur Einflussgröße x sind i. d. R. Zufallsgrößen und unterliegen demnach auch bestimmten Schwankungen e. Die obige lineare Funktion y = a + bx muss genau genommen um diese Abweichung (Zufallskomponente) e ergänzt werden (siehe auch Residuen):

y° = a + bx + e


y°: geschätzter y-Wert
e: Abweichungen der unabhängigen Variablen

Näheres zu diesem Thema: Kovarianz und Standardabweichungen für a, b und r

Berechnung des Korrelationskoeffizienten r

Wie in der Einleitung schon erwähnt, ist die im Folgenden aufgeführte Berechnung eine Schätzung des “wahren” Korrelationskoeffizienten ρ. Je größer der Stichproben- (Merkmals-) Umfang n ist, desto besser ist die Schätzung von ρ.

Das lineare Bestimmtheitsmaß r² für dieses Beispiel beträgt 0,99327² = 0,9866.

Berechnung der Parameter a und b

Die Parameter a und b sind Ihnen sicher geläufig unter den Begriffen für a gleich Schnittpunkt mit der y-Achse und b gleich der Steigung der Geraden.

Ergebnis der Korrelations- und Regressionsanlayse

y = a + bx       y = -0,2 + 2,1x

mit

r = 0,99327 oder r² = 0,9866

Mit obiger linearer Funktion können nun bei gegebenem x-Wert (Merkmalswert) Voraussagen über y gemacht werden. Oder einfach ausgedrückt: y kann berechnet werden!
Um nicht den Eindruck zu erwecken, es handelt sich um einen funktionalen Zusammenhang (r = 1, siehe Hinweis), geben Sie immer r oder r² mit an!