Lineare Transformationen


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	Linearer Zusammenhang, lineare Transformation

Die rechte Grafik zeigt eine lineare Funktion y = bx.

Im Folgenden wird beschrieben, wie Sie eine Korrelations- und Regressionsanlayse für Datenpaare, die “auf dem ersten Blick” keinen linearen Zusammenhang erwarten lassen, durchführen können.
Die Beispieldaten werden auf der Basis a = 2 und b = 3 erzeugt.

Linearisierende Transformationen

1. Beispiel: y = ab^x


	Die xy-Datenpaare (Tabelle 1.1) sind die originalen Datenpaare, die z. B. durch Messung erhalten wurden und zeigen die Kurvenform, dargestellt in Grafik 1.1.




		Tabelle 1.1




		Grafik 1.1


	*Die lineare Transformation der Funktion y = ab^x führt zur Funktion log₁₀(y) = log₁₀(a) + log₁₀(b) x.** Die Berechnung (siehe Kapitel Regressionsanalyse) erfolgt nach logarithmieren der y-Werte (Tabelle 1.2) und zeigt folgende Daten:


	Tabelle 1.2


	y = ab^x als transformierte Funktion log₁₀(y) = log₁₀(a) + log₁₀(b) * x grafische dargestellt:


	Grafik 1.2


	2. Beispiel y = ax^b:

		Die xy-Datenpaare (Tabelle 2.1) sind die originalen Datenpaare, die z. B. durch Messung erhalten wurden und zeigen die Kurvenform, dargestellt in Grafik 2.1.


	*Die lineare Transformation der Funktion y = ax^b führt zur Funktion log₁₀(y) = log₁₀(a) + b log₁₀(x).** Die Berechnung (siehe Kapitel Regressionsanalyse) erfolgt nach logarithmieren der y-und x-Werte (Tabelle 2.2) und zeigt folgende Daten:




		3. Beispiel y = ae^bx:

			Die xy-Datenpaare (Tabelle 3.1) sind die originalen Datenpaare, die z. B. durch Messung erhalten wurden und zeigen die “Kurvenform”, dargestellt in Grafik 3.1.



			Die lineare Transformation der Funktion y = ae^bx führt zur Funktion ln(y) = ln(a) + bx. Die Berechnung (siehe Kapitel Regressionsanalyse) erfolgt nach logarithmieren zur Basis e = 2,7182818... (natürlicher Logarithmus) der y-Werte (Tabelle 3.2) und zeigt folgende Daten:




			4. Beispiel y = ae^b/x:

		Die xy-Datenpaare (Tabelle 4.1) sind die originalen Datenpaare, die z. B. durch Messung erhalten wurden und zeigen die “Kurvenform”, dargestellt in Grafik 4.1.



		*Die lineare Transformation der Funktion y = ae^b/x führt zur Funktion ln(y) = ln(a) + b1/x.** Die Berechnung (siehe Kapitel Regressionsanalyse) erfolgt nach Bildung des Kehrwertes für die x-Werte und dem logarithmieren zur Basis e = 2,7182818... (natürlicher Logarithmus) für die y-Werte (Tabelle 4.2) und zeigt folgende Daten:




			5. Beispiel y = ax / (b+x):

			Die xy-Datenpaare (Tabelle 5.1) sind die originalen Datenpaare, die z. B. durch Messung erhalten wurden und zeigen die Kurvenform, dargestellt in Grafik 5.1.



	*Die lineare Transformation der Funktion y = ax / (b+x) führt zur Funktion 1/y = 1/a + b/a1/x.** Die Berechnung (siehe Kapitel Regressionsanalyse) erfolgt nach Bildung der Kehrwerte für die x-Werte und y-Werte (Tabelle 5.2) und zeigt folgende Daten: