Determinanten |
Determinanten (determinare (lat.) = bestimmen) gehören zum Gebiet der linearen Algebra mit beliebig vielen Unbekannten (Matrizenrechnung).
Wie Sie sich sicher erinnern können, kann das Additionsverfahren zur Lösung angewendet werden: Additionsverfahren zur Erinnerung:
Im Additionsverfahren werden die Gleichungen durch Multiplikation mit geeigneten Zahlen so umgeformt,
dass bei der Addition der neuen Gleichung eine Unbekannte wegfällt. Dadurch wird eine Gleichung mit einer Unbekannten erhalten. Für x1: Multiplikation mit a22 und -a12: Durchgeführter Multiplikationsschritt: (Die folgenden Gleichungen sind zur besseren Darstellung garfisch dargestellt!) |
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Für x2: Multiplikation mit -a21 und a11: Durchgeführter Multiplikationsschritt und Addition: |
In den allgemeinen Lösungen für x1 und x2 tritt beide Male im Nenner der Ausdruck a11a22-a12a21 auf. Dieser Ausdruck ist die Determinate D des Gleichungssystems. D = a11a22-a12a21 Die Determinate eines Systems von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten wird berechnet, indem von dem Produkt der Hauptdiagonalglieder das Produkt der Nebendiagonalglieder subtrahiert (Matrixschreibweise siehe hier!): |
In der allgemeinen Lösung für x1 und x2 können Sie auch die Zählerdeterminaten Dx1 und Dx2 erkennen: | ||||||||
Nun lässt sich die allgemeine Lösung für x1 und x2 auch nach der Cramerschen “Regel” darstellen: | ||||||||
Es lässt sich nun auch erkennen, dass wenn D = 0 ist, die Gleichungen von einander abhängig sind und das System unendliche Lösungen hat, oder das System steht im Wiederspruch und es gibt keine Lösung. |
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Beispiel: Für das Element a11 sieht die Unterdeterminante wie folgt aus... |
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... für das Element a21 .. |
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... und für das Element a31 so: |
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Die Addition (Schachbrettregel) der Produkte führt zur Determinante: |
Dieses Verfahren lässt sich auf Systeme mit n linearen Gleichungen mit n Unbekannten anwenden. Auf einen Beweis der hier aufgeführten Gesetze wird verzichtet. Einige Gesetze werden Ihnen aus dem Themenbereich Matrix schon bekannt sein. |
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