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Lineare Gleichungen

Eine Gerade in der xy-Ebene kann algebraisch durch eine Gleichung der Form a₁x + a₂y = b dargestellt werden. Eine derartige Gleichung wird linear mit den Variablen x und y genannt. Allgemein wird eine lineare Gleichung mit n Variablen, wobei n in den allermeisten Fällen Unbekannte sind, in folgender Form dargestellt:

a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n = b
a₁, a₂, ..., a_n und b sind reelle Konstanten

 Beispiele:

x + 2y = 6                         x₁ + 3x₂ - 2x₃ + x₄ = 9

Obige Beispiele sind linear. Lineare Gleichungen enthalten keine Produkte oder Wurzeln ihrer Variablen und alle Unbekannten nur in ihrer 1. Potenz. Weiterhin gilt für die Unbekannten, dass sie nicht als Argumente in trigonometrischen, logarithmischen oder Exponentialfunktionen erscheinen.

 Folgende Gleichungen sind folglich nicht linear:

x + 2y² = 6                       y - sin x = 0

Lineare Systeme:

Lineares System ist die Kurzbezeichnung für ein lineares Gleichungssystem, welches aus einer endlichen Menge linearer Gleichungen mit den Variablen x₁, x₂, ..., x_n besteht:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = b₁
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = b_{2
     :           :                    :        :}
a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n = b_m

x₁, x₂, ... x_n: Variablen
a₁₁ bis a_mn und b₁ bis b_m: Konstanten

Die doppelte Indexierung der Konstanten in der allgemeinen Form a_ij erlaubt die eindeutige Zuordnung zur Variablen x_n. Der Index i gibt die Zeile an (= Gleichung) und der Index j die Spalte (= die zugehörige Variable).

Wird obiges lineare System in der Matrix-Form, indem “+”, “x” und “=” nicht mehr “hingeschrieben” werden, dargestellt, gelangen wir zur erweiterten Matrix:Erweitert deswegen, weil die Konstanten a (diese werden in Zukunft Koeffizienten genannt) und die  Konstanten b in einer Matrix dargestellt werden.

Matrix-Definition:

Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema. Die Zahlen werden als Elemente der Matrix bezeichnet.