Abweichung von der Normalverteilung


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	Abweichung von der Normalverteilung: Schiefe und Wölbung

Es werden 2 Typen möglicher Abweichungen von der Normalverteilung unterschieden:

1. Typ:
Die Verteilung ist unsymmetrisch oder schief, siehe rote Verteilung in der Grafik. Eine positive Schiefe, auch linkssteil genannt, liegt dann vor, wenn der Hauptanteil der Verteilung auf der linken Seite liegt.


	Es gilt:

	Linkssteile Verteilung: D < < Rechtssteile Verteilung: D > >


	D: Dichtemittel : Median : Mittelwert

2. Typ:
Liegt das Maximum (Dichtemittel) bei gleicher Varianz höher als das einer Normalverteilung, also spitzer, liegt ein positiver Exzess und wenn das Maximum tiefer liegt, die Verteilung im Vergleich zur Normalverteilung abgeflacht ist, liegt ein negativer Exzess vor (siehe grüne Verteilung in der Grafik).

Die Schiefe (skewness) und Wölbung (kurtosis) wird über die Potenzmomente berechnet.

Potenzmomente

Abweichungen bezüglich der Schiefe von der Normalverteilung werden über den Momentkoeffizienten α₃geschätzt:

Für eine symmetrische Verteilung gilt α₃ = 0.
Ist α₃ positiv, liegt eine Linkssteile und ist α₃ negativ liegt eine rechtssteile Verteilung vor.

Abweichungen bezüglich der Wölbung von der Normalverteilung werden über den Momentenkoeffizient α₄ geschätzt:

Für die Normalverteilung gilt α₄ = 0.
Ist α₄ positiv, liegt ein positiver Exzess, Hochgipfligkeit, vor. Ist α₄ hingegen negativ, liegt ein negativer Exzess, Flachgipfligkeit, vor.

Eine Schätzung bezüglich einer vermuteten Abweichung von der Normalverteilung kann auch über den Chi-Quadrat-Test (-Test) erfolgen. Auf der Beispielseite sehen Sie auch ein Vergleich -Test und Momentkoeffizienten α₃.

Unterstützung mit dem Statistikprogramm R

Möchten Sie die oben beschriebene Schätzungen nicht per Hand durchführen, kann Ihnen das freie Statistikprogramm R weiterhelfen! Wenn Ihnen R nicht geläufig ist, bietet Ihnen das Buch Einführung in R einen einfachen Einstieg.

Laden Sie die Funktion normalv() in die R-Arbeitsumgebung. x stellt den Datensatz, den Sie auf Normalverteilung prüfen möchten, dar. Der beispielhafte Aufruf der Funktion normalv() mit einem Datensatz, bestehend aus 10.000 Werten (Mittelwert = 0, Standardabweichung = 1), zeigt folgende Schätzung...

> normalv(x, grafik=T)

Kennzahlen zur Normalverteilung
Anzahl der übergebenen Werte:
100000
Mittelwert:
-0.001567027
Standardabweichung:
0.9980946
Schiefe:
-0.006819426
Wölbung:
0.0005043491

5-Punkte-Zusammenfassung:

Kleinster Wert:
-4.216
1. Quantile:
-0.6741
Median:
0.0006122
3. Quantile:
0.6725
Größter Wert:
4.35

Kolmogoroff-Smirnov-Test:
Prüfgröße:
0.001964185
Wahrscheinleichkeit (p-Wert): 0.8351301 ( 83.5 %-iges Zutreffen der Normalverteilung)

... und gibt folgende Grafiken aus: