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Wahrscheinlichkeit

Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt Fall A, oder auch Ereignis A, aus der Anzahl möglichen Fälle ein? Die Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit PA wird nach

durchgeführt. Der Quotient PA wird auch als Laplace-Wahrscheinlichkeit bezeichnet.

Beispiel:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit PA, mit einem Würfel eine 6 zu werfen?

PA = g/m

PA = 1/6 = 0,1667

PA = 16,67%

g = 1, die 6 zu würfeln
m = 6, die Anzahl der Zahlen von 1 bis 6

Wahrscheinlichkeit zusammengesetzter Ereignisse (UND-, ODER-Regel):

Die Ereignisse seien hier A und B.

1

A und B

Es treten beide Ereignisse zugleich ein, sind aber unabhängig, d. h., A bedingt nicht B!

P(A und B)= PA* PB

2

A oder B

Es tritt mindestens ein Ereignis ein.

P(A oder B)= PA+ PB

Beispiel zu 1:

Ein Würfel wird 2x geworfen. Wie groß ist PA und PB mit dem 1. Wurf eine 1 und mit dem 2. Wurf eine 6 zu werfen? Auch hier gilt wieder:

PA = g/m

PA = 1/6 = 0,1667

PB = g/m

PB = 1/6 = 0,1667

g = 1, die 1 zu würfeln
m = 6, die Anzahl der Zahlen von 1 bis 6

g = 1, die 6 zu würfeln
m = 6, die Anzahl der Zahlen von 1 bis 6

P(A und B)= 1/6 * 1/6 = 1/36 = 0,0277 = 2,77%

Da beide Ereignisse unabhängig sind, entspricht obige Fragestellung dem einmaligen Wurf von 2 Würfeln. 

Beispiel zu 2:

In einem Behälter befinden sich 10 weiße, 15 rote und 20 schwarze Kugeln.

  1. Wie groß ist Pweiß oder Pschwarz?
  2. Wie groß ist P(weiß oder schwarz), d.h., das entweder eine weiße oder eine schwarze Kugel entnommen wird?

Antwort zu 1:

Pweiß = g/m

Pweiß = 10/45 = 0,2222

Pschwarz = g/m

Pschwarz = 20/45 = 0,4444

Antwort zu 2:

g = 10 weiße Kugeln
m = 45, die Gesamtzahl der Kugeln

g = 20 weiße Kugeln
m = 45, die Gesamtzahl der Kugeln

P(weiß oder schwarz) = 10/45 + 20/45 = 30/45 = 0,6667 = 66,67%

Axiome der Wahrscheinlichkeit

(Ein Axiom ist jede unabgeleitete Aussage)
Auf Basis der Laplaceschen Wahrscheinlichkeit wurde von A. N. Kolmogorov das Axiomensystem der Wahrscheinlichkeitsrechnung entwickelt:

  1. Axiom: Jedem zufälligen Ereignis A (Beobachtung) eines zufälligen Versuches ist eine Wahrscheinlichkeit PA zugeordnet, die einen Wert zwischen 0 und 1 annehmen kann:


  2. Axiom: Das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 1:



  3. Axiom: Sind A und A disjunkte Ereignisse ist P eine Vereinigung:



    Mehrere disjunkte Ereignisse werden addiert.
    Was bedeutet disjunkt? Zur Erklärung bemühen wir die Mengenlehre. Zwei Mengen M1 und M2 sind disjunkt (lat: disiunctum = getrennt), wenn ihr Durchschnitt


  4. ist. Bezogen auf obige Ereignisse A und B bedeutet dies, dass das Ereignis A zur Menge der Wahrscheinlichkeiten PA und das Ereignis B zur Menge der Wahrscheinlichkeiten PB gehört. Die Vereinigung der beiden disjunkten Wahrscheinlichkeitsmengen


    wird auch disjunkte Vereinigung genannt.

Aus Axiom 3 folgt, dass die Vereinigung beider Wahrscheinlichkeiten ein sicheres Ereignis darstellt:

Daraus folgt wiederum, das die Wahrscheinlichkeit komplementär Ereignisses PB folgendem entspricht:

Zur Verdeutlichung der komplementären Wahrscheinlichkeit dient auch hier das oft verwendete Würfelbeispiel:
Die Wahrscheinlichkeit P mit einem Wurf eine 6 zu würfeln, beträgt P(Würfel = 6) = 1/6. Dann ist die Wahrscheinlichkeit keine 6 zu werfen gleich 5/6:


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