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Binomialverteilung

Die Binomialverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung für ein Merkmal, das z. B. aus zwei Ausprägungen, z. B. funktionsfähig/defekt, Wappen oder Zahl, oder blau/rot mit einer konstanten Erfolgswahrscheinlichkeit p für eine Ausprägung, z. B. defekt oder rot, annehmen kann.
Die Wahrscheinlichkeit mit der dieses Ereignis eintritt, wird mit P bezeichnet und die Berechnung erfolgt nach:

Berechnung Binomialkoeffizient

Siehe Binomial-
koeffizient
!

n: Stichprobenumfang
x: Anzahl der Merkmalausprägungen A oder B (blau oder rot)
p: Konstante Erfolgswahrscheinlichkeit für A oder B
(1-p):
Wenn p die konstante Erfolgswahrscheinlichkeit für A ist, dann ist (1-p) die konstante Erfolgswahrscheinlichkeit für B. (1-p) wird oft durch q dargestellt.

Voraussetzungen zur Anwendung der Binomialverteilung:

  • Die Ausprägung des Merkmalergebnisses muss zufällig sein, d. h., die Ausprägungen A oder B müssen voneinander unabhängig sein.
  • Der Stichprobenumfang n entspricht der Anzahl der Merkmalsergebnisse, d. h., sie sind auf n festgelegt. Der Stichprobenumfang muss komplett “durchgeprüft” werden, um die Anzahl x zu erhalten.
  • Die Wahrscheinlichkeit p und folglich auch für 1-p ist konstant.
  • Es wird von einer Stichprobennahme mit Zurücklegen ausgegangen (siehe als Gegensatz hierzu hypergeometrische Verteilung). Ist der Stichprobenumfang n gegenüber dem Losumfang N klein, etwa n < N/10, kann in der Praxis von einer Stichprobennahme mit Zurücklegen ausgegangen werden.

Beispiel:

Eine Glühbirnenfertigung läuft mit einem konstanten Ausschußanteil von 5% (p = 0,05). Zur Qualitätsprüfung werden 5 Leuchtkörper (Stichprobenumfang n = 5) entnommen. Im Folgenden werden die Wahrscheinlichkeiten P für das Vorfinden von genau 0, 1, 2, 3, 4 und 5 defekte Glühbirnen berechnet:

a) P(genau 0):

b) P(genau 1):

c) P(genau 2):

d) P(genau 3):

e) P(genau 4):

f) P(genau 5):

Obiges Beispiel macht deutlich, wie sicher auch vermutet, z. B. genau 3 defekte Glühbirnen in dem Stichprobenumfang n = 5 Stück vorzufinden, sehr gering ist (P = 0,1%).

Lautet die Fragestellung “Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit P höchstens 2 defekte Leuchtkörper in dem Stichprobenumfang n vorzufinden?” muss über die Wahrscheinlichkeitssumme PSum (siehe Wahrscheinlichkeit, Oder-Regel) gegangen werden:

P(höchstens x) = P(0) + P(1) + P(2) + ... + P(x)

P(höchstens 2) = 0,774 + 0,204 + 0,021 = 0,999

Lautet sie hingegen “Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit P mindestens 2 defekte Leuchkörper im Stichprobenumfang n vorzufinden?”, wird sie wie folgt beantwortet:

P(mindestens x) = 1- P(höchstens x-1)

P(mindestens 2) = 1- (0,774 + 0,204) = 0,022

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