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Folgen

Eine Folge wird wie folgt formal definiert:

Folgen_1

Die Elemente xn werden Folgenglieder genannt und üblicherweise mit einem Index n angegeben. Die Menge M wird in der obigen Definition nicht weiter beschrieben, kann also aus beliebigen Objekten bestehen. Auf dieser Seite geht es um Zahlenfolgen, z. B. um xn

Folgen_2

und die gesamte Folge wird mit

Folgen_3

oder wenn unmissverständlich, mit (xn) bezeichnet. Die Folgenglieder enstehen durch Bildungsgesetze, wie z. B. für diese simple Folge positiver ganzer Zahlen:

Folgen_4
Wertetabelle:

n

1

2

3

...

xn

2

4

6

...

Liegt eine Zahlenfolge mit gleicher Differenz zwischen den Folgengliedern vor, wird von einer arithmetischen Folge gesprochen:

            xn = 2; 5; 8; 11; 14; ....

Die Differenz d in dieser arithmetischen Folge ist 3 und daraus kann einfach das allgemeine Bildungsgesetz für arithmetische Folgen abgeleitet werden:

Folgen_5

Ist der Quotient q zwischen 2 benachbarte Folgenglieder

Folgen_6

konstant, liegt eine geometrische Folge vor:

            xn = 3; 9; 27; 81, ...

Der Quotient entspricht in diesem Beispiel q = 3 und daraus lässt sich das allgemeine Bildungsgesetz für geometrische Folgen ableiten:

Folgen_7

Eigenschafen von Folgen

Eine Folge wird als monoton wachsend bezeichnet, wenn

Folgen_8

gilt. Ist

Folgen_9

wird die Folge als monoton fallend bezeichnet.

Eine reelle oder komplexe Folge (xn) ist beschränkt, falls es eine positive reelle Zahl B gibt, sodass

Folgen_10

gilt. Ohne B heißt die Folge (natürlich) unbeschränkt.

Besitzt eine Folge im reellen Zahlenraum R oder im komplexen Zahlenraum C einen Grenzwert, ist die Folge konvergent. Besitzt die Folge keinen Grenzwert, heißt die Folge divergent.

Eine Zahl x aus einem der erwähnten Zahlenräumen, heißt Grenzwert einer Folge  Folgen_11, wenn es zu jeder Zahl epsilon_g_Null eine natürliche Zahl Natuerliche_Zahl gibt, sodass

Folgen_12

gilt. “Die Folge konvergiert gegen ...” bedeutet also die Annäherung an einem Grenzwert.

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