Trigonometrie



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	Die Winkelfunktionen

Steigen wir in das Thema Winkelfunktionen über den Kreisbogen ein:

Die Strecken A und B bestimmen einen Kreisausschnitt über den Kreismittelpunkt M und den Punkten A’ und B’ in dem in Abb. 1 dargestellten Kreis. Die zum Kreisausschnitt gehörende Kreislinie S wird Kreisbogen genannt.


	Abb. 1


	Die Länge des Kreisbogen S wird definiert durch den Mittelpunktwinkel und Radius r des Kreises:

Wird nicht explizit eine Winkeleinheit wie Grad ° angegeben, wird davon ausgegangen, dass der Winkel in Radiant angegeben wird. Der Radiant (auch Bogenmaß genannt), ist eine dimensionslose Maßeinheit und wird mit rad gekennzeichnet. Im Einheitskreis (r = 1) entspricht die absolute Länge L des Kreisumfanges L = 2 .Durch Winkelangaben in rad werden Operationen in der Analysis vereinfacht.

Hier hervorgehoben die Umrechnung zwischen Grad ° und rad und eine kleine Umrechnungstabelle:


	Einheitskreis, Standardposition und Quadranten

Abb. 2:
1. Position im Kreis:
Dieser Winkelschenkel in der xy-Ebene liegt in der Standardposition, weil ein Schenkel auf der X-Achse liegt.

2. Position im Kreis:
Wird der freie Schenkel gegen den Uhrzeigersinn gedreht, hat der Winkelwert ein positives Vorzeichen.

3. Position im Kreis:
Wird der freie Schenkel mit dem Uhrzeigersinn gedreht, nimmt der Winkelwert von ein negatives Vorzeichen an.




		Abb. 2

4. Position im Kreis:
Dadurch, dass das Koordinatensystem so in den Kreis gelegt wurde, dass der Kreismittelpunkt M und Koordinatenursprung eines kartesischen Koordinatensystems übereinanderliegen, kann der Kreis in 4 Segmente mit 4 rechten Winkeln, den sogenannten Quadranten, aufgeteilt werden. Nimmt der Radius (siehe auch Abb. 1) die Länge 1 an, wird vom Einheitskreis gesprochen.


	Trigonometrische Funktionen


	Die sechs grundlegenden trigonometrischen Funktionen werden als Funktionen eines spitzen Winkels durch die Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecks beschrieben (Abb. 3):


	Abb. 3


	Wie in Abb. 3 gezeigt, lässt sich ein rechtwinkliges Dreieck in den Kreis legen (Abb. 4):


	Abb. 4

Definiert werden nun die trigonometrischen Funktionen als Funktion der Koordinaten des Punktes P(x,y) in dem der frei Schenkel r (Radius) des Winkels den Kreis schneidet.

Sie erkennen die Übereinstimmung mit den trigonometrischen unter Abb. 3.


	Weiterhin besteht folgende Beziehung:




	Hier ein Hinweis zur Verbindung mit dem Thema linearen Regressionanalyse:



		Hier eine kleine Übersicht für ausgewählte Gradzahlen und Radianten (rad, Bogenmaß):


	Obige Übersicht lässt die Periodizität trigonometrischer Funktionen erahnen. Die Winkel und + haben den selben trigonometrischen Funktionswert, z. B.


	Dieses Verhalten beschreibt das periodische Verhalten der sechs grundlegenden trigonometrischen Funktionen.

Eine Funktion f(x) ist periodisch, wenn

f(x + p) = f(x)

mit p als positive Zahl. Der kleinste Wert von p ist die Periode von f. Die folgende Abbildung zeigt ein Periodizitätsbeispiel für die Funktionen y = sin(x) und y = cos(x):

Die Graphen der Funktionen y = sin(x) und y = cos(x) haben die gleiche Form, sind lediglich um den 1/2 gegeneinander verschoben. Der Funktionsverlauf wiederholt sich nach einem Intervall von 2, das heißt, die Periode ist 2 (Wellenlänge oder Schwingungsdauer).

Trigonometrische Identitäten

Im Falle das r = 1 (Einheitskreis) ist, gilt dann für das (Referenz-)Dreieck im Einheitskreis bei Anwendung des Satzes des Pythagoras die Gleichung

Daraus abgeleitet durch Division mit bzw. erhält man

Die folgenden Gleichungen gelten für alle Winkel und :

Die obigen Funktionsgrafiken wurden teilweise erstellt mit dem Ti-Nspire Cx Casii-T


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