Eine komplexe Zahl z besteht aus einem reellen Teil a (Realteil) und einem imaginären Teil b (Imaginärteil): z = a + bi D. h., die Erweiterung der reellen Zahlen a mit der imaginären Einheit i führt zur komplexen Zahl.
Die Einführung der imaginären Einheit wird notwendig, um z. B. die Quadratwurzel einer negativen Zahl zu berechnen: Die Wurzel aus -9 ist keine reelle Zahl, da ist. Somit scheint die Schreibweise  nicht möglich, obwohl -9 in zwei gleiche Faktoren zerlegt werden kann. Dadurch liegt der Zwang vor, die imaginäre Zahl i einzuführen. Über die imaginäre Zahl i wird z. B.  lösbar: Das Produkt setzt sich dabei immer wie folgt zusammen:
Es gibt keine reelle Zahl, deren Quadrat = -1 ist. Da das Quadrat jeder reellen Zahl nur positiv sein kann, wird der Bereich der reellen Zahlen durch Einführen von  als neue Zahl, deren Quadrat gleich -1 ist, erweitert. Nach Leonhard Euler (1707 - 1783) wird imaginäre Einheit genannt und mit dem Buchstaben i bezeichnet. Aus dieser Definition gilt dann i2 = -1 und für die imaginäre Einheit Vor der Anwendung in Rechenregeln ist eine imaginäre Zahl als Produkt zu schreiben: Denken Sie daran, dass folgende Rechnung nicht erlaubt ist ...
... sondern
Komplexe Zahlen werden addiert, indem die Realteile und Imaginärteile addiert werden: Komplexe Zahlen werden subtrahiert, indem die Realteile und Imaginärteile subtrahiert werden: Komplexe Zahlen in algebraischer Form werden wie algebraische Summen multipliziert: Einfach ausgedrückt, entspricht das Rechnen mit komplexen Zahlen dem Rechnen mit reellen Zahlen, es ändert sich rein gar nichts! Treffen Sie auf i * i, entspricht es i2 = -1, ein
i3 entspricht (i * i) * i = -i, ein
i4 entspricht i2 * i2 =(-1) * (-1) = 1 usw.
Ein Beispiel dazu: Zur geometrischen Darstellung der komplexen Zahlen gehen wir vom dem Realteil aus, der auf dem Zahlenstrahl liegt und vom Imaginärteil , der über dem Zahlenstrahl liegt. Damit kommen wir
zur Gauß’schen Zahlenebene: | 
