Binomische Formeln |
Ein Binom ist ein zweigliedriger Ausdruck der Form a + b oder a - b. Die Multiplikation von Binomen führt zu den binomischen Formeln. Die beiden beispielhaften Binome (a +b) und (c + d) werden wie folgt multipliziert: Es wird jedes Glied des 1. Binoms mit jedem Glied des 2. Binoms multipliziert und die erhaltenen Teilprodukte addiert:
Für die Quadratsumme (a +b)2 sieht obiges Beispiel wie folgt aus: Und somit kommen wir zur 1. binomischen Formel: Die 2. binomische Formel ist entsprechend ... ... und die 3. binomische Formel ist dann Die 3. binomische Formel führt beispielsweise für den Ausdruck 1 - x4 zu folgender Umstellung: Die 1. und 2. binomische Formel kann auch wie folgt zusammengefasst1 dargestellt werden: Potenzen von Binomen haben die allgemeine Form und die 3. Potenz eines Binoms lässt sich wie folgt herleiten: Zusammengefasst2: Und die 4. Potenz ...: Zusammengefasst3: Vergleichen Sie 1, 2 und 3 werden Sie folgende Gesetzmäßigkeiten feststellen:
Der französische Mathematiker Blaise Pascal (1632 bis 1662) entwickelte auf dieser Beobachtung das Pascalsche Dreieck: Das Pascalsche Dreieck ist symetrisch aufgebaut. Für beispielsweise bedeuten die Koeffizienten des Pascalschen Dreieckes auf Basis der oben erwähnten Gesetzmäßigkeiten:
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