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Geometrische Verteilung

Geometrische Verteilungen liegen dann als Wahrscheinlichkeitsmodell zugrunde, wenn es um diskrete Zufallsvorgänge geht, die solange wiederholt werden, bis das erste Mal das interessierende Ereignis eintritt. Die Zufallsvorgänge sind unabhängig voneinander.

Die geometrische Verteilung kommt als einfaches Modell für eine diskrete Lebensdauer (siehe auch Weibull-Verteilung) oder Wartezeitverteilung in Frage.

Konkret heißt das, dass z. B. die Lebensdauer einer H7-Halogenscheinwerferlampe dadurch überprüft wird, nach welchem Zeitintervall (Minuten, Stunden, Tage, Wochen,...) sie nicht mehr funktioniert. Dieser Zeitintervall ist dann die Zufallsvariable k, welche die Zeit beinhaltet, bei der das Ereignis “defekt” (das erste Mal) aufgetreten ist.

k = “Anzahl der Ereignisse (Versuche,...) bis zum ersten Mal das interessierende Ereignis eintritt”

k = “Zeit bis die Halogenlampe defekt ist”

Die geometrische Verteilung wird durch folgende Funktion

P_k = p(1-p)^k-1

beschrieben.

Beispiel:

Mit der Wahrscheinlichkeit p = 0,25 (25%) wird ein Ereignis eintreten. Die Wahrscheinlichkeit, das dass Gerät (Halogenlampe ?) das 4. Ereignis (k=4) überlebt, ist P_k = 0,11 (11%):

Die Wahrscheinlichkeit, das das Gerät höchstens 4 Ereignisse überlebt, wird durch die kumulative Wahrscheinlichkeit P_k angegeben:

P₄ = P₁ + P₂ + P₃  +  P₄

P₄ = 0,25 + 0,19 + 0,14 + 0,11 = 0,69

Der Erwartungswert (Mittelwert) E der geometrischen Verteilung entspricht

E = (1 - p) / p

und die Streuung s entspricht:

s = (1 - p) / p²

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