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Fishers exakter Test

Ist der Stichprobenumfang N für den Vierfelder- -Test gering (wenn N < 20 ist, wird von gering ausgegangen), wird zur Prüfung der Verteilung der exakte Fisher-Test verwendet.

Der exakte Fisher-Test wird in der Literatur auch als Irwin-Fisher-Test oder Fisher-Yates-Test bezeichnet, da die Testentwicklung auf die genannten Autoren zurückgeht.

Zur Test-Beschreibung wird von einer Vierfeldertafel ausgegangen:

 

Merkmal B

 

B1

B2

Zeilensumme (Index i):

Merkmal A

A1

a

b

a + b

N1

A2

c

d

c + d

N2

Spaltensumme (Index j):

a + c

b + d

N

Vierfeldertafel

Die N-Beobachtungen zu den Merkmalen A und B werden in der Vierfeldertafel als Merkmalskombinationen a, b, c und d klassifiziert (grauer Bereich in obiger Tabelle).
Dabei gilt N = (a + c) + (b + d) = (a + b) + (c + d). Zur Methodik siehe auch Kontingenztabelle.

Es wird davon ausgegangen, dass die Merkmale A und B voneinander unabhängig sind. Die erwartete Häufigkeit h für die Klassenausprägungen a, b, c und d wird nach

berechnet. Darauf basierend wird das Vierfelder- nach der Gleichung

berechnet. Der -Wert ist durch die Randsummen festgelegt und besitzt nur einen Freiheitsgrad.

Zurück zum exakten Fisher-Test. Wie erwähnt, wird davon ausgegangen, dass sich die Beobachtungen N exakt mit den Häufigkeiten a, b, c und d auf die vier Merkmalskombinationen verteilen. Die dazugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine hypergeometrische Verteilung. Die Wahrscheinlichkeit p(a) genau a von N1 Ereignisse zu beobachten, wird nach

geschätzt. Es wird nur die Wahrscheinlichkeitsverteilung für a (oder einer anderen beliebigen Häufigkeit der Vierfeldertafel) benötigt, da die Tafel durch die Randsumme fixiert ist.

Eine weiterführende methodische Beschreibung mit Rechenbeispiel finden Sie im Bortz, Linert, Boehnke (3. Auflage, Seiten 110 bis 111).

Wir führen den exakten Fisher-Test mithilfe von R unter Verwendung des Beispiels relatives Risiko und Odds Ratio ...

 

Anzahl verstorben

Anzahl überlebt

Summe Zeile

Therapie A

6

182

188

Therapie B

23

170

193

Summe:

29

352

381

... durch. Über den Fisher-Test soll nun geprüft werden, ob die beiden Therapien A und B einen gleichen Therapie-Erfolg (Null hypothese H0) zeigen oder ob die Alternativhypothese H1 ein möglicher  Unterschied zwischen den Therapien wahrscheinlicher ist.

    > Therapie <- matrix(c(6, 23, 182, 170), ncol = 2, dimnames = list(c("Therapie A", "Therapie B"), c("eingetreten", "nicht eingetreten")))
    > Therapie
               eingetreten nicht eingetreten
    Therapie A           6               182
    Therapie B          23               170

    > fisher.test(Therapie)

            Fisher's Exact Test for Count Data

    data:  Therapie
    p-value = 0.001599
    alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1
    95 percent confidence interval:
     0.07946166 0.63707883
    sample estimates:
    odds ratio
     0.2444833

     

Gehen wir von einer 5%igen Signifikanz aus ( = 0,05) wird sowohl einseitig wie auch zweiseitig  der p-Wert mit 0,0016 deutlich unterschritten. Die Alternativhypothese H1 ist wahrscheinlicher und von einem Unterschied in den Therapien A und B ist auszugehen. Auch der Odds Ratio zeigt mit 0,24 einen deutlichen Behandlungserfolg für Therapie A.

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